Question

[Lê Hải Yến]

Cho hệ phương trình

x+my=m+1

mx+y=3m-1

Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn x+y<0

Answer 1

[Võ Hồng Phúc]

\(\left\{{}\begin{matrix}x+my=m+1\\mx+y=3m-1\end{matrix}\right.\)

Xét \(m=0\) , hệ pt tương đương:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-1\end{matrix}\right.\Rightarrow x+y=0\left(\text{loại}\right)\)

\(\Rightarrow m\ne0\)

Hệ pt có nghiệm duy nhất khi:

\(\frac{1}{m}\ne m\Leftrightarrow m\ne\pm1\)

Hệ pt tương đương:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=m+1-my\\m\left(m+1-my\right)+y=3m-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=m+1-my\\y\left(m^2-1\right)=\left(m-1\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{3m+1}{m+1}\\y=\frac{m-1}{m+1}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x+y=\frac{4m}{m+1}\)

\(x+y< 0\Leftrightarrow\frac{4m}{m+1}< 0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}4m>0\\m+1>0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}4m< 0\\m+1< 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}m>0\\m>-1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\m< -1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m>0\\m< -1\end{matrix}\right.\)

Vậy để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)\) thỏa mãn \(x+y< 0\) thì \(m>0;m< -1;m\ne1\)